今天具体就以下四方面的内容来简析。
1.数学是学什么的?
2.数学本科的课程点评和能力分析
3.数学本科可选的6大类14个专业选择概述
4.数学大类升学介绍:数学、统计、计算机、金融、大数据、运筹
1、数学是学什么的?
我们小学、初中和高中都在学数学，但进入大学学了数学之后，你会发现大学level的数学和小初高是不一样的。在本科以及往上的数学学习中，数学是规律的抽象，是一种先验的真理体现，是离智慧最近的科学。
对于本科以及本科以上的数学，整体来讲,分为理论数学、应用数学和计算科学三类。
理论数学
●代数:运算系统的科学，譬如研究群,域，向量空间和环，在几何/物理数学领域内有很多应用
●几何:用基本定理和公理，去处理空间的关系，这个空间关系，狭义上可理解为.点、线、曲面、实体的关系，但实际上几何处理的是更复杂的空间区域关系和空间形式的度量
●拓扑:由几何学发展而成，是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的学科。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小.
数论: 研究的是整数性质，去理解种种结构。譬如我们小学的质数合数，包括哥德巴赫猜想，都是数论范围内
●组合:组合数学，其实广义上也是离散数学，讲的是如何对事物计数。它是计算机科学的核心内容之一，即:使用算法处理离散数据
●分析:研究处理极限和相关理论的数下一支，譬如微分、积分、测度、解析函数等。很重要的2个应用，包括:偏微分和动力学
上述理论，每个方向都不是孤立的，而是需要和其他方向结合一起的。譬如有很多分支的方向包括:代数数论、代数几何、几何拓扑、微分几何(分析+几何)等等。此外，当 你研究理论问题的时候，你会发现每- -个分支的方法论需要用其他的分支才能得到更精彩的证明，譬如你需要用一些分析的理论去解决代数几何的内容，你在研究分析方法的时候又会发现里面蕴含着大量代数和几何的结构。
应用数学
●概率:研究随机变量和事件，是非确定性事件测量的数据抽象。概率是研究统计理论的重要基础，分支下有随机过程这个重要的理论
●微分方程:微分方程是将一个或多个函数及导数联系起来的方程，其中函数表示物理量，导数表示变化率，微分方程定义了两者之间的关系。研究微分方程是对物理、工程现象的建模和模型稳定性的理解
●运筹学:是一门涉及到应用高级分析方法帮助做出更好决策的学科，现在运筹学已经衍生出了一个独立的专业，主要是在工程学院和商学院下面
●控制论:处理动态系统的控制，降低延迟以及保持稳定性，这个在工程中应用很广，也是EE\ME\Robotics等领域的方法论
还有很多，譬如金融数学/生物数学/数学物理/数学经济/数学心理，这些都属于数学方法在物理、医学、工程、生物学、金融、商业等不同领域的应用。
计算科学
●数值计算:用数值近似(非符号操作)来解决数学分析中的算法和研究
●理论计算机科学:处理在计算模型上解决哪些问题、使用算法、解决问题的效率或程度(譬如近似解vs精确解)
●优化:基于某些标准，选择最佳方案，是运筹学的重要基础
计算机代数:也称为代数计算/符号计算，是指研究和开发用于处理数学表达式和其他数学对象的算法和软件的科学领域。
整体来说，计算科学是用计算这个手段来研究数学和科学领域，强调算法、数值方法以及符号计算。
2、数学本科课程和能力分析
我们将数学系本科生所学课程，分类如下:
当一个本科生上完以上课程，即使他/她未来不选择数学，但对他/她能力的塑造，帮助非常大，主要体现在:
第一，很多学生在选定大学不知道要选什么专业的时候，只要有一定的数学底子+抽象思维能力+比较肯钻研，是可以去学数学的。在数学学科中发现自己的兴趣再转去其他的专业，这样在专业选择.上不会踩雷。
第二，数学是学习壁垒很高的学科，如果你在18岁这个年龄不学数学，那你有很大概率一辈子也学不会数学了。如果你在年轻的时候能把数学知识学好打下基础，便拥有了得天独厚的优势。
第三，数学会锻炼人的思维，当你学了数学之后，再去学其他应用性的学科，你会发现，有一种降纬打击的感觉。
当然，学数学也存在一些缺点，可以概括为:
首先，大学数学和高中数学，有一定的差别。大学数学课程70%在于理解抽象的概念以及做证明，需要有很强的投入度。数学的学习体验不是很好，大学很多时候靠自学，学习的内容大多都是证明，会让你怀疑智商和人生。
其次，数学虽然是万金油专业，但如果你真的打算研究生转专业，你需要提前规划以弥补你的GAP:转金融需要宏观微观计量经济学;转计算机需要算法、系统、强编程能力;转最接近的统计，需要额外补3-51门统计和数据科学的基础课程。数学系的本科学生有很强的理论思维，但研究生或者就业则需要有快速解决问题以及实践的能力。
所以，我们建议，本科学数学的同学，一定要以终为始，先想好自己是否未来要长期从事数学领域，如果要转专业，未来想进什么行业，做什么职位。
3、数学本科:专业选择和职业选择
数学可以如何做研究生升学规划?我们用以 下表格来表示，一共6个类型(数学、 统计、金融、数据、运筹、计算机)，14个专业选择，2种不同的升学学位申请选择，以及毕业 后学术界(academics) 或者工业界(industrial) 2类不同规划。
接下来，我们针对这6大类型，具体分析一下。
选择1:数学
数学背景申请数学，关于专业方向前面已经做了足够的介绍，这里不再赘述。
通常建议直博，其中一类偏理论的研究包括前面讲的代数/几何/拓扑/分析等这些类型。选择这些专业的同学，通常有很强的科研热忱，喜欢数学的美感和严谨，所以大概率最后也是走学术方向。要注意的是，一旦你选择了学术这个方向，要在所学领域有很深的造诣需要你以坚定的决心投入到这个方向.中，否则一旦你放弃了学术方向改为偏实践应用，意味着你前面投入的时间都白费了， 而转行必然要需要有相应的skillset，则需要额外花费大量时间，如此有点得不偿失。如果你选择应用或者计算方向，在博士期间你会develop大量的计算、建模等技能，这部分能力是能在industrial中应用的，所以对直接就业也有很大的优势。
数学博士毕业后，职业规划通常可以走学术(需要做3-6年博士后),或者去工业界。工业界可选择的行业包括互联网、金融等领域，可选择的职位包含finance quant researcher、data scientist, machine learning researcher等 。
选择2:统计
统计，可以说是数学的一个分支，二者差别在于:统计是通过大量的数学计算，对对象作出分析或者预测，侧重于数据的获取以及，对数据进行更深层次的处理和分析;数学，则更多注重证明演绎推算空间关系。
统计在方法论」上基本分成两个方面:
●一个是传统的统计学，譬如:贝叶斯/高纬分析/分参数估计，这部分学习比较理论，涉及到大量的证明和公式推导
●另外一个是现在很火的机器学习派，主要.是数据科学/机器学习/算法等
所以，数学背景的同学申请统计，特别是传统的统计学，优势在于非常强的推理和演绎能力，对统计基础和推算中的规则了解的很清楚，能解决很多理论上的证明问题。但需注意，数学转统计需要有一定的统计课程。一般数学系本科生会上如:概率、随机过程、数理统计、回归分析等课程，但这些课程不够，需要考虑额外的课程，包括时间序列分析、多元化、统计推断、非参数估计、 数据分析等。更多统计专业的介绍见: TheOne-统计。
选择3:计算机
计算机研究生的方向，一般分为4个:理论、系统、人工智能和机器学习，以及交叉方向。--般数学背景的学生学习计算机，比较有优势的方向是理论。计算机理论是研究关于计算更抽象化、逻辑化和数学化的问题,对数学推导能力要求比较高，对计算机编程能力要求不高，所以申请者多数是数学背景。
如果选择理论方向，因为申请的毕竟是计算机系，所以建议有一个CS的双学位，或者在课程，上，建议选计算机硬核的5大件课程:数据结构和算法、计算机组成原理、操作系统、计算机网络、编译原理。更多计算机介 绍见: The One- CS。
还有一部分学数学的学生会选择informationtheory也就是信息论，这个和概率统计有很强的关系，但需要一定的CS背景。此外，信 息管理系统(MIS) 专业，数学背景学生也可选。MIS属于交叉专业，特别是商学院下的项目，对于申请者CS课程要求没那么高。
选择4:数据(数据科学/商业分析)
除统计之外，很多数学系的学生也越来越喜欢转data这个方向，基本来说在研究生申请中对应2个方向:数据科学和商业分析。不是说数学系同学申请数据科学和商业分析多有优势，而是数据科学和商业分析通常对申请者的本科专业背景没有太多硬性的要求。
数据科学和商业分析的学科是有以下3个部分相交构成
●数学统计
计算机(编程)
●应用领域知识
其具体的差别在于:数据科学是理工科，更偏后台更需要算法、预测的应用;商业分析大多数在商学院下，更偏前台，需要的是通过一些数据的调用、分析来解决商业的问题。
如果你选择大数据方向，因为本科数学课程过于理论，转数据方向则需要补充一定的gap。在课程方面，需要上数据结构、数据可视化、机器学习等课程。另外，需要补充一定的项目和实践经验(实习、 科研、数据比赛等)。o 关于大数据的更多介绍可见: The One-Data Science以及The One-BA。
选择5:量化金融
数学和金融的关联性非常强，所以数学+金融交叉的学习就是金融数学/金融工程。这个方向主要是以数学和计算机为工具来建立金融市场模型和解决金融问题的新兴学科，其本质是利用各种衍生金融工具，如期权，期货，对金融领域中的各种风险进行管理。
那么金融工程和金融数学的具体差别是什么?我们take Columbia MFE (工 程学院: 金融工程)和Columbia MSFE (数学系:金 融数学) for example
共同课程:金融基础、随机微分、金融衍生品
金融数学:布朗运动、熵(马尔可夫)、高级随机模型、时间序列
金融工程:科学计算、蒙特卡洛模拟、量化风险管理.
具体来说，该方向在研究生申请中的选择，有3种类型:
金融数学硕士:大多数在数学系下
金融工程硕士:工程学院或者商学院下
金融学(量化)硕士:商学院下，比较接近金融工程
如果学数学的同学申请金融工程或者金融数学，你不需要额外的金融课程，但你需要证 明你有- -定的实践能力和相关经验(譬如实习)。此外，数学系本科对申请金工/金数比较有利的课程包括:概率、统计、随机过程(马尔可夫计算)、常微分、偏微分、数值计算、随机微分(本科数学系基本不会去选这个)、数学建模、数据库、数据结构等。另外，建议学一下机器学习、数据分析、时间序列分析。如有余力，可以选一-下期权期.货、固定收益证券分析、投资分析组合等金融课程。
选择6:运筹
运筹是一门关于决策(decision) 的学科，前面也说了其实运筹也算是应用数学的一个分支，但因为解决的问题实践性强且极具针对性，所以主要在工程学院和商学院中。
运筹学有2个课程基石:随机过程
(stochastics) 和优化(optimization)其中stochastics刻画了系统的随机性，在建 模中起着重要的作用，optimization是 去找-个最有效的决策。运筹学一般有3个方向，一是偏理论的发展，比如随机和优化的一些理论和算法，这个方向很适合数学系的本科;二是偏应用的发展，是用OR工具去具体解决 很多领域譬如Supply Chain, Energy,
Healthcare, Transportation, Pricing之 类的问题;三是最近比较火的，机器学习和运筹结合的方向，譬如把Prediction和Decision结合到一块、这个更适合计算机背景的学生，如果数学系的学生选择运筹，一方面可以选 择Operations Research (工 程学院下)，另 外一方面是Operations Management，这个主要是商学院下的PhD项目，本科直博相对难 度比较高。更多运筹介绍，咨询金吉列顾问。
